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La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquitéavec la trisection de l'angle et la duplication du cube, dissertation histoire comment faire.
Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas voir Nombre constructible. La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas dissertation histoire comment faire la racine carrée du nombre πce qui est dissertation histoire comment faire en raison de la transcendance de π.
Ne sont constructibles que certains nombres algébriques [ a ], dissertation histoire comment faire. Ce problème impossible à résoudre a donné naissance à l'expression « chercher la quadrature du cercle »qui signifie tenter de résoudre un problème dissertation histoire comment faire. De plus, ce problème mathématique est celui qui a résisté le plus longtemps aux mathématiciens. Ils ont mis plus de trois millénaires à étudier le problème, reconnu comme insoluble par Ferdinand von Lindemann en Les civilisations agraires de l'Orient ancien disposaient de méthodes empiriques d'estimation des surfaces circulaires.
Ainsi l'un des problèmes donnés comme résolus par le papyrus Rhind [ b ]rédigé vers av. La démarche hypothético-déductivequi substitua aux recueils de problèmes résolus des énoncés démontrés à partir de quelques propriétés prises comme axiomesne s'est imposée en mathématiques qu'à partir du VI e siècle av. La découverte, au tournant du VI e au V e siècle av. Il suivit de là que l'arithmétique fut reléguée chez les Grecs au second plan derrière la géométrie : pour décider de l'égalité de deux rapports de longueurs, on s'en remit désormais aux constructions géométriques, c'est-à-dire à la comparaison de figures, et à la décomposition des surfaces en triangles rectangles ou en carrés, dissertation histoire comment faire.
Les trois grands problèmes classiques de construction géométriques naissent au V e siècle av. Les travaux les plus considérables du V e siècle av. Cette découverte ne signifiait pourtant nullement que la quadrature du cercle était en vue, car seules des lunules particulières celles construites sur le côté d'un carré sont exactement quarrables.
Puisque l'on peut effectuer un pavage exact du carré par des triangles et donc des polygones quelconquesune deuxième voie consista à rechercher des polygones de même surface que le cercle. Antiphon eut l'idée d'approcher le périmètre du cercle par celui de polygones réguliers inscrits dont le nombre de côtés allait croissant. Mais comme il est impossible de construire la quadratrice à la dissertation histoire comment faire et au compas courbe dite « transcendante »cette solution ne peut être reçue comme « géométrique [ 9 ][ 10 ].
Archimède dissertation histoire comment faire dans ce traité les trois propriétés suivantes :. Le premier théorème résout la quadrature du cercle par la rectification du périmètre d'un cercle de rayon donné et la ramène finalement à la construction d'un segment de longueur π.
Pour démontrer ses trois énoncés, Archimède recourt à l'idée de son prédécesseur Bryson : cerner le cercle par des polygones inscrits et circonscrits en multipliant les points de contact. Partant d'un hexagone inscrit et du triangle équilatéral circonscrit, Archimède parvient par duplications successives du nombre de côtés à enserrer le cercle entre deux polygones de 96 côtés chacun.
Un calcul remarquable des racines carrées qui interviennent dans les relations géométriques obtenues donne les trois rapports annoncés [ d ]. Il montre que la construction d'une tangente à cette spirale permet de rectifier exactement le périmètre d'un cercle.
Plusieurs commentateurs voient là une quadrature complète du cercle, mais Archimède ne la revendique pas lui-même comme telle : pas plus que la quadratrice, ni la spirale, ni sa tangente ne sont constructibles à la règle et au compas [ 14 ].
Le regain d'intérêt pour les mathématiques de l'Antiquité dans l'Europe chrétienne du XI e siècle s'accompagna de spéculations originales sur la quadrature du cercle, dissertation histoire comment faire, qui cependant ne firent guère avancer sa solution.
L'un des premiers auteurs de cette période à s'intéresser au problème de la quadrature du cercle fut Francon de Liège. Son traité De quadratura circuli [ 15 ] parut vers Francon expose d'abord trois solutions qu'il considère comme fautives.
La troisième méthode présuppose la rectification du cercle. La solution de Francon s'applique à un cercle de diamètre Pour cela, il divise le cercle en 44 secteurs égaux qui, recollés, forment un rectangle de 11 par 14 de côté. Cela dit, Francon n'explique pas comment il obtient le résultat-clef de son raisonnement, à savoir l'assimilation des secteurs de cercle à des triangles rectangles de côtés de longueur 1 et 7.
Le fait qu'il échoue finalement à transformer son rectangle en un véritable carré n'est pas non plus très concluant. Visiblement, Francon n'était guère familier des méthodes des Anciens transmises jusqu'à son époque.
Les traités scolastiques postérieurs s'inspirent plus ou moins de l'argumentation des auteurs classiques. Ce dernier reprit l'idée d'encadrer le cercle par une suite de polygones inscrits et circonscrits à nombre de côtés croissant, mais au contraire d'Archimède il ne cherche pas à recouvrir la surface du cercle, mais à calculer le rayon du cercle circonscrit à un polygone de surface donnée.
Partant d'un triangle équilatéral, pris comme polygone régulier le plus simple, il augmente progressivement le nombre de côtés des autres polygones réguliers isopérimétriques jusqu'au cercle défini comme un polygone d'un nombre infini de côtéspour en chercher le rayon. Dans ces polygones, la différence de surface entre le cercle inscrit et le cercle circonscrit est extrême dans le triangle, puis s'amenuise dans le carré, etc.
Selon Nicolas de Cues, dissertation histoire comment faire, il suffit de déterminer la proportion entre ces cercles, au moyen de leurs rayons, dissertation histoire comment faire, pour trouver le rapport entre la surface d'un cercle et celle d'un carré.
Les contributions de N, dissertation histoire comment faire. de Cues [ dissertation histoire comment faire ] à ce problème donnent clairement dissertation histoire comment faire valeurs moins bonnes et Regiomontanus a dénoncé l'imprécision des calculs et qualifié le raisonnement de « philosophique, mais non pas dissertation histoire comment faire [ 17 ]. Au XVI e siècleOronce FineScaliger croient avoir démontré la quadrature ; Adrien Romainle chevalier Errard de Bar le duc la leur refusent ; dans cette polémiqueFrançois Viète la décrète impossible, dissertation histoire comment faire.
Le problème dépasse la sphère des mathématiques et l'on voit surgir des allusions à la quadrature dans des ouvrages ésotériques [ e ], dissertation histoire comment faire. Au XVII e siècleGrégoire de Dissertation histoire comment faire crut avoir résolu l'énigme de la quadrature : il exposa ses solutions dans un ouvrage de dissertation histoire comment faire pages [ 18 ].
On affine l'encadrement en augmentant le nombre de côtés des polygones. Le géomètre néerlandais Snell alias Snellius découvrit en un encadrement remarquable pour la longueur d'arc sous-tendue par un polygone à 3×2 n dissertation histoire comment faire, ne faisant intervenir que l' apothème et la corde du polygone [ 19 ] qui sont pour ces angles particuliers des grandeurs algébriques.
Par une voie purement géométrique, Huygens encadrait si finement la surface entre le cercle et le polygone circonscrit qu'à nombre de côtés égal, il obtenait trois fois plus de décimales dissertation histoire comment faire qu'Archimède. Avec Huyghens, les méthodes purement géométriques avaient épuisé leurs possibilités. Pour aller plus loin, il fallait désormais passer à des méthodes de calcul dissertation histoire comment faire efficaces, telle la sommation de séries infinieset notamment celles obtenues avec les développements limités des fonctions trigonométriques.
mais sa formule converge lentement. John Wallis donna un développement en série plus simple, notamment parce qu'il ne fait intervenir que des sommes et des produits de fraction ; le premier président de la Royal SocietyLord Brounckerdonna une représentation de π sous forme de fraction continue généralisée. Mais le développement en série qui fut le plus utile pour le calcul de π fut de loin celui de la fonction arc tangentedécouvert par Madhava et retrouvé trois siècles plus tard, indépendamment et quasi-simultanément, par James Gregory et G.
En effet, bien que cette série ne converge que lentement au point 1, elle converge rapidement en tout point plus petit, et se prête particulièrement bien à l'usage des opérations arithmétiques usuelles. Mais si l'on put, dès le début du XVIII e sièclecalculer à l'aide de ce nouvel outil les premières décimales exactes de πces techniques n'apportaient aucun élément nouveau pour la quadrature du cercle.
Pour résoudre la quadrature du cercle, il fallait d'une part traduire la notion de « constructibilité géométrique » en une propriété algébriqueet d'autre part approfondir la compréhension que l'on avait des propriétés du nombre π. Toute construction à la règle et au compas s'appuie sur un nombre fini de points donnés et consiste à construire en un nombre fini d'étapes de nouveaux points par intersection de deux droites, de deux dissertation histoire comment faire, ou d'une droite et d'un cercle.
La traduction de ce procédé en langage algébrique s'opère par l'emploi d'un systèmes de coordonnéesdissertation histoire comment faire, qui est l'idée fondamentale de la géométrie analytique imaginée au XVII e siècle par Pierre de Fermat et René Descartes, dissertation histoire comment faire.
Avec un tel système, il est possible de raisonner dissertation histoire comment faire les droites et cercles par leurs équations : les points d'intersection à construire deviennent les solutions d'équations algébriques à calculer. En particulier, un tel nombre est algébriquec'est-à-dire solution d'une équation algébrique de degré arbitraire à coefficients rationnels.
Les nombres non algébriques sont dits transcendants et ne sont pas constructibles [ 23 ]. Le principe des recherches ultérieures sur le nombre π est contenu dans l' Introductio in analysin infinitorum de Leonhard Euler On y trouve dissertation histoire comment faire célèbre formule :. qui, pour la première fois, relie les lignes trigonométriques à la fonction exponentielle et fournit par là même quelques nouveaux développements en fraction continue et en série de π et du nombre e.
Le Suisse Jean-Henri Lambert sut prolonger ce travail pionnier pour démontrer dèspar le calcul de nouveaux développements en fraction continue généraliséedissertation histoire comment faire, que π est irrationnel [ 24 ]c'est-à-dire que — comme e — il n'est pas une fraction exacte de nombres entiers.
Il publia un résumé de vulgarisation à l'intention des « quadrateurs » [ 25 ]. Dans la 4 e édition de sa Géométrie [ 26 ]Adrien-Marie Legendre donna une nouvelle « preuve » de l'irrationalité de π — plus lisible mais incomplète [ f ] — et « démontra » par la même occasion celle de π 2.
La conjecture de dissertation histoire comment faire transcendance de πexaminée par Euler, Lambert et Legendre, restait un problème ouvert. Jusqu'au milieu du XIX e siècleon ignorait d'ailleurs s'il existait des nombres transcendants. La preuve de leur existence fut apportée en par Joseph Liouville par la construction explicite de nombres transcendants particuliers, les nombres de Liouville [ g ]. Ferdinand von Lindemann parvint finalement à démontrer en que π n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant ; qu'en conséquence, on ne peut construire à la règle et au compas un segment de longueur π et donc, dissertation histoire comment faire, que la quadrature du cercle est impossible [ 27 ].
Lindemann s'appuya pour cela sur un résultat du mathématicien français Charles Hermite. Ce dernier avait démontré en que le nombre e est transcendant. Le théorème de Lindemann-Weierstrass généralise ce résultat de la façon suivante :. La démonstration de Lindemann de la transcendance de π a ensuite été simplifiée de différentes façons, comme dissertation histoire comment faire la forme donnée par David Hilbert en Peu de problèmes ont autant débordé le champ des mathématiques que la quadrature du cercle.
C'est l'une des raisons pour lesquelles il a fasciné tant d'amateurs, dont certains ont même cru qu'ils l'avaient résolu. Le plus ancien témoignage relatif à l'existence d'un « quadrateur » est donné par une comédie d' AristophaneLes Oiseauxoù l'on voit l'arpenteur Métonchargé de borner l'emprise d'une nouvelle colonie, aux prises avec les outils dont il dispose pour « mettre un cercle au carré ».
Même si son problème n'est pas exactement celui de la quadrature d'un cercle, mais plutôt le tracé de deux avenues perpendiculaires, dissertation histoire comment faire, l'expression du dramaturge fait clairement allusion à la célèbre énigme de la quadrature [ 28 ]. Les historiens de la géométrie Montucla [ 29 ]Lambert [ 25 ] et de Morgan [ 30 ] témoignent de la multiplication des recherches d'amateurs à partir du XVIII e et du XIX e siècle.
Même la démonstration d'impossibilité de Lindemann fut loin de mettre un terme à la profusion de prétendues solutions au problème, dissertation histoire comment faire. Plus récemment, ces tentatives toutes plus vaines les unes que les autres ont alimenté les rubriques de récréations mathématiques. Un autre motif, et non des moindres, pour la recherche d'une quadrature du cercle, dissertation histoire comment faire, était l'idée fort commune qu'une grande récompense serait offerte au solutionniste — idée fantaisiste, née peut être de la croyance que la quadrature était la clef au problème de la détermination des longitudes en merqui faisait effectivement l'objet de prix scientifiques.
Cette légende d'une récompense officielle était si tenace qu'encore enune encyclopédie allemande populaire, le Meyers Konversations-Lexikon confiait à ses lecteurs que « Charles Quint avait promis au vainqueur un prix de thalers et les États Généraux de Hollande une somme encore plus prodigieuse [ 33 ]. Parmi les amateurs les plus illustres qui se sont risqués à avancer une solution à cette énigme mathématique, on peut citer le père de la chronologie moderne, Joseph Juste Scaliger [ 34 ]et le philosophe anglais Thomas Hobbes.
La solution approchée publiée en par ce dernier dans son traité De corpore a été citée la même année par John Wallis. Par la suite une querelle s'éleva entre les deux hommes, qui ne s'acheva qu'avec la mort de Hobbes en Lambert se fait l'écho de trois quadratures du cercle donnant pour π une fraction. La quadrature du cercle proposée par le médecin américain Edward J. La communication est contradictoire et selon la façon dont on la lit, on en déduit différentes valeurs pour π, dissertation histoire comment faire.
Cette communication fut néanmoins le point de départ du projet de loi Pi de l'Indianamis au vote en par le Parlement de l'État d' Indiana [ 36 ]qui consistait à imposer les formules de Goodwin comme valeur officielle de π. L'association La Quadrature du Net a repris dans son nom ce problème [ 37 ]. Il est en effet selon elle « impossible de contrôler efficacement la circulation de l'information à l'ère du numérique en appliquant les logiques de régulation actuelles sans porter atteinte aux libertés publiques, ni freiner le développement économique, social et culturel [ 37 ].
Fichier:Squaring the circle. djvu Quoique la construction exacte à la règle et au compas soit impossible, il existe plusieurs constructions approchées du carré équivalent, qui sont suffisamment précises pour rendre quelques services en pratique. Des méthodes simples, connues depuis l'Antiquité, donnent pour le rapport du diamètre au côté du carré équivalent une fraction simple.
Outre la fraction proposée par le papyrus Rhind diamètre de longueur 9 et carré équivalent de côté 8on connaissait également l'équivalence approchée du cercle de diamètre 8 et du carré de diagonale Albrecht Dürerqui se proposait de donner des techniques de dessin pratiques, reprend en cette construction dans son traité Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt.
Méthodologie de la dissertation en Histoire: L'introduction
, time: 6:28Plan de dissertation : la méthode pour le bac de français
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